牛吃草问题解析：青草地生长与消耗的数学模型及应用

思维训练《牛吃草的问题》

1、一片绿草每天都以恒定的速度生长。这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周。这片草可以被21头牛吃掉多少周？

解：将每头牛每天吃的草量视为“1”。

第6周的草总量为：6×27=162

第9周的草总量为：9×23=207

3周内增加的草总量：207-162=45

每周长出新草：45÷(9-6)=15，即每周长出的草可以喂饱15头牛。

原草量为：162-6×15=72

所以它可以喂养21头牛：72÷(21-15)=12（周）

2、随着天气逐渐变冷，牧场上的草不仅长得不多，反而以固定的速度减少。据此计算，某牧场的草可供20头牛吃5天，或者可供15头牛使用。如果吃6天，10天可以喂多少头牛？

解：5天内草地上的草总数：5×20=100

6天草地总草量：6×15=90

草地上的草每天减少：(100-90) ÷ (6-5) = 10

原草量为：100+5×10=150

10天后剩余草量：150-10×10=50

50÷10＝5(头)

3、自动扶梯自下而上匀速运行。两个不耐烦的孩子想要从自动扶梯上楼。已知男孩每分钟走20步，女孩每分钟走15步。结果，男孩花了5分钟才到达楼上。 ，女孩花了6分钟才到达楼上。自动扶梯有多少级？

解：5分钟内，男孩总共走了：20×5=100（步）

女孩一共走了6分钟：15×6=90（步）

自动扶梯的速度为：（100-90）÷（6-5）=10（步数）

自动扶梯总数：100+5×10=150（步）

4. 船上漏水。水以均匀的速度进入舱内。发现泄漏时已有一些水进入。如果用12个人来舀水，3个小时就能完成。如果只有5个人舀水，需要10个小时才能舀完。 2小时内需要多少人才能舀水？

解：将每人每小时舀水的量视为单位“1”

3小时后总水量：12×3=36

10小时后共用水：5×10=50

每小时进水量：(50-36) ÷ (10-3) = 2

发现时舱内有水：36-3×2=30

舀出所需原水总量：30÷2=15（人）

总需求：15+2=17（人）

5、有一口井，不断涌出泉水，每分钟涌出的水量是相等的。若用3台水泵抽水，36分钟可将水抽出；若用5台水泵抽水，20分钟即可将水抽出。现在要求12分钟内抽完井水。需要多少个泵？

解：(36×3-20×5)÷(36-20)=0.5份

20×5-0.5×20=90份

(90+12×0.5)÷12=8（站）

答：现在要求12分钟内完成抽井水，需要8台水泵。

6、有3片草地，面积分别为5公顷、6公顷、8公顷。草地上的草一样茂密，长得一样快。第一片草可以喂11头牛10天，第二片草可以喂12头牛14天。第三块草可以喂19头牛多少天？

解：第10天每公顷有草数：11×10÷5=22

第14天每公顷有草数：12×14÷6=28

每公顷草的日生长率为：(28-22) ÷ (14-10) = 1.5

8公顷每天长草量为：1.5×8=12

每公顷原草量为：22-10×1.5=7

8公顷的原草量为：8×7=56

吃原草量：56÷(19-12)=8（天）

7、某火车站检票口，检票开始前，已有人在排队。检票开始后，每分钟就有10人前来排队检票。一个检票口每分钟可容纳25人检票进站。如果只有一个检票口，则检票开始后8分钟无人排队；如果有两个检票口，检票开始后多少分钟没有人排队？

解：8分钟检票总数：25×8=200（人）

原人数：200-8×10=120（人）

打开两个窗口所需时间：120÷(25×2-10)=3（分钟）

“圆柱和圆锥”问题解决

1、沿BC边和AB边旋转三角形ABC，得到两个圆锥体（如下图）。哪个圆锥体的体积更大？

以AB边为轴：31×3.14×52×3 =78.5(cm3)

以CB侧为轴：31×3.14×32×5=47.1(cm3)

答：以AB边为轴旋转的圆锥体的体积很大。

2．圆锥形麦堆底周长12.56米，高1.5米。如果每立方米小麦重0.7吨，那么这堆小麦有多少吨？

12.56÷3.14÷2＝2（米）

22×3.14×1.5×31×0.7=4.396（吨）

答：这堆小麦重 4.396 吨。

3、如图所示，密封容器内有一些水。水面距离底部的高度为10厘米。如果你把这个容器倒过来，你能找到水面距离底部的高度（以厘米为单位）吗？

(10-4)×31+4=6(厘米)

答：将容器倒置。水面距离底部的高度为6厘米。

4．圆柱形玻璃容器装满水。将底半径为3cm、高10cm的圆锥形铁块浸入水中（如图）。如果将铁块从水中取出，容器中水面的高度会下降多少？厘米？ （8分）

3.14×32×10×31＝94.2（cm3）

3.14×(10÷2)2=78.5(cm2)

94.2÷78.5＝1.2（厘米）

答：容器内的水位会下降1.2厘米。

5.下面是钢管。求其中所用钢材的体积。

2米=200厘米

[(7÷2)2－(4÷2)2]×3.14×200＝5181(cm2)

答：所用钢材的体积为5181立方厘米。

6．碎石堆呈圆锥形，底径4米，高1.5米。用这堆碎石在12米宽的路面上铺10厘米厚的路面，可以铺多少米？ （四舍五入到小数点后一位）

圆锥体体积：1.5×(4÷2)2×3.14÷3＝6.28（立方米）

10 厘米 = 0.1 米

公路长度：6.28÷12÷0.1≈5.2（米）

答：可摊铺5.2米左右。

7. 根部半径为5dm、长度为8dm的圆柱形通风管。制作200个这样的通风管道需要多少平方米的铁皮？

5 dm＝0.5 m8 dm＝0.8 m

0.5×2×3.14×0.8×200＝502.4（平方米）

答：制作200个这样的通风管道，至少需要502.4平方米的铁皮。

8、一块煤球如图所示（有15个孔，每个孔的直径为2厘米）。制造 10 块这样的煤球需要多少立方分米的煤？

(16÷2)2×3.14×10＝2009.6(cm3)

(2÷2)2×3.14×10×15＝471(cm3)

2009.6-471＝1538.6(cm3)＝1.5386(dm3)

1.5386×10＝15.386(dm3)

答：制作 10 块这样的煤球需要 15.386 dm3 煤炭。

9．玻璃瓶，下部为圆柱形，高15厘米。将装有 200 mL 水的玻璃瓶竖直放置并倒置，如图所示。瓶子最多可以装多少毫升水？

200mL＝200cm3

200÷10＝20(cm2)

20×(10+2.5)＝250(cm3)＝250(mL)

答：瓶子最多可容纳 250 毫升水。

《工程问题》题型训练

1. 一个项目，A单独完成需要28天，B单独完成需要21天。如果A和B合作需要多少时间？

效率：1÷28=1/28

B效率：1÷21=1/21

合作时间：1÷(1/28+1/24)=12（天）

2. 一个项目，如果A和B合作，需要20天完成；如果B和C合作，需要15天完成；如果B单独完成，需要30天完成。那么如果A、B、C合作，需要多少天才能完成这个项目？

A+B效率：1÷20=1/20

B+C效率：1÷15=1/15

B的效率：1÷30=1/30

A+B+C的效率：1/20+1/15-1/30=1/12

合作时间：1÷1/12=12（天）

3、一件作品，甲、乙需36天完成，乙、丙需45天完成，甲、丙需60天完成，甲单独完成需要多少天？

A+B效率：1÷36=1/36

B+C效率：1÷45=1/45

A+C效率：1÷60=1/60

A的效率：(1/36+1/60-1/45)÷2=1/90

A单独完成的时间：1÷1/90=90（天）

4. 一个项目，A 单独完成需要 21 天，A 和 B 合作需要 12 天。 B 单独完成需要多长时间？

效率：1÷21=1/21

A、B合作效率：1÷12=1/12

B单独花费的时间：1÷(1/12-1/21)=28（天）

5. 一项工作，A、B 合作 30 天即可完成。一起工作 6 天后，A 离开，B 继续完成工作 40 天。如果甲或乙单独完成这项工作，需要多少天？ ？

合作完成的工作量：1/30×6=1/5

剩余工作量：1-1/5=4/5

B的效率：4/5÷40=1/50 A的效率：1/30-1/50=1/75

B单独完成时间：1÷1/50=50（天） A单独完成时间：1÷1/75=75（天）

6. A、B 一起加工一批零件，8 小时内完成任务。如果单独处理A，需要12个小时才能完成。现在，A和B一起工作了12/5小时后，A被调出去做其他工作，B继续生产420个零件才完成任务。问题B：总共加工了多少个零件？

12/5小时合作完成的工作量：1/8×12/5=3/10

剩余工作量：1-3/10=7/10

测量速率对应的总工作量为：420÷7/10=600（件）

B的效率：1/8-1/12=1/24

B合作期间完成的工作量：1/24×12/5×600=60（件）

B加工总数：60+420=480（块）

7、某水池可从A、B两根水管注满水，A管单独开需要12小时注满，B管单独开需要24小时注满。如果需要10个小时才能充满水池，并且A和B管道同时打开。时间要尽可能短，那么A和B应该同时开放多少小时呢？

如果要求A和B同时打开的时间尽可能短，则效率较高的一个应该一直打开。

A已工作10小时，完成的总工作量：1/12×10=5/6

B 尚待完成的工作量：1-5/6=1/6

B开放时间：1/6÷1/24=4（小时）

即A、B应同时开放4小时。

8、水库每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2个半小时后泳池里的水就会排空。如果打开8个水龙头，1个半小时内池里的水就会排空。现在打开13个水龙头。 ，问多久可以把水排空？

打开5个水龙头的效率：1/2.5=2/5

打开8个水龙头的效率：1/1.5=2/3

所以1个水龙头的效率：(2/3-2/5)÷(8-5)=4/45

打开13个水龙头的效率：2/3+(13-8)×4/45=10/9

所需时间：1÷10/9=9/10=0.9（小时）

9、两台保洁车A、B在东西城之间的高速公路上执行保洁任务。 A车单独清洁需要10小时，B车单独清洁需要15小时。两辆车同时从东、西两个城市向相反的方向出发。当它们相遇时，A车比B车清扫了12公里。 问：东、西城市之间相距多少公里？

遭遇时间：1÷(1/10+1/15)=6（小时）

A的工作量：6×1/10=3/5

B的工作量：6×1/15=2/5

测量速率对应：12÷(3/5-2/5)=60(公里)