钢管下料优化方案：3种切割模式解决45根5m、25根7m、20根9m需求

有这样一个情况，某钢管零售商，他到钢管厂去进货，然后呢将钢管依照顾客提出的要求进行切割，之后再拿去售出，而他从钢管厂进货的时候，所得到的那些原料钢管全部都是21米长度的。

当下，有一个客户，其需求是，要45根长度为5米的钢管、25根长度为7米的钢管以及那20根长度为9米的钢管，那么，应该怎样进行下料，才能达到最省的效果呢？

倘若零售商所采用的各异切割模式数量过多，那么就会致使生产进程趋于复杂，进而令生产以及管理成本得以增加，因而该零售商作出规定，所采用的切割模式不得超出3种。所以，该客户除了需要（1）里面提及的那三种钢管之外，还另外需要15根长度为6m的钢管。究竟应当怎样进行下料才能够最为节省呢。

问题（1）的求解

首先进行问题分析，要确定哪些切割模式是可行的。一种切割模式，指的是按照客户需求在原料钢管上安排切割的组合。比如，把21m的钢管，切割成4根5m的钢管，余料为1m；或者把21m的钢管，切割成2根5m，1根7m的钢管，余料是4m。很明显，这样的切割模式有很多。

其次，哪些切割模式属于合理得予以确定。一般来讲，假定一种合理切割模式的余料不会大于或者等同于客户所需钢管的最小尺寸。在这般合理的假定情形下，切割模式总计有7种，如同表格所呈现的那样。

5m钢管根数

7m钢管根数

9m钢管根数

余料（m）

模式1

模式2

模式3

模式4

模式5

模式6

模式7

在满足客户需求的状况下，要去考量按照何种合理模式，来切割多少原料钢管才会最为节省，这就有了问题。而对于节省，存在两种标准，其一为切割后剩余的总余料量是最小的，其二是切割原料钢管的总根数是最小的。下面会针对这两个目标分别展开讨论。

模型建立

用于表示决策变量时，xi被用来代表，针对第i种模式去切割的原料钢管的具体根数，其中i的取值范围是从1到7，显而易见，它们属于非负整数这一范畴。

决策目标以切割后剩余的总余料量最小为目标，则由表可得

MinZ1=x1+4x2+2x3+2x4+3x7（1）

以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有

MinZ2=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7（2）

下面分别在这两种目标下求解。

约束条件为了满足客户的需要，按照表应有

4x1+2x2+2x3+x4+x5≥45（3）

X2+2x4+x5+3x6≥25（4）

X3+x5+2x7≥20（5）

模型求解

使得由（1），还包括（3），以及（4），再加上（5）所共同构建起来的整数线性规划模型，在添加了整数约束条件之后，将其输入到LINDO里面像这样：

求解可以得到最优解如下：

先是依循模式5去切割45根原料钢管，其次依照模式6切割9根原料钢管，两者相加共计54根，并且总余料是0。很明显地，在总余料处于最小的目标状况之下，最优解会是采用余料尽可能小的切割模式（鉴于模式5和6的余料为0） 。

把由（2）到（5）所构成的那个整体的线性规划模式，再加上整数约束条件，输入到LINDO当中去求解，能够得到如下的最优解：

对于原料钢管，首先是按照模式1切割24米长的6根，接着是按照模式3切割15米长的1根，然后是按照模式5切割21米长的19根，最后是按照模式6切割10米长的2根，如此这般可算出总余料量为长度8米。

在与上面所获取到的结果进行比较时，总余料量已然呈现出增加了8米的态势，然而让人意想不到的是，所运用的原料钢管总根数却减少了26根。当余料不存在任何用途的状况之下，目标是以总根数量最少作为选择条件。

问题（2）的求解

对于问题分析而言，依据（1）的思路，此情形下能够借助枚举法，于最先之时明确哪一些切割模式是具备可行性的。然而，鉴于需求所涉及的钢管规格已然增添至4种，因而枚举这一行为所涵盖的工作量是比较大的。后续即将予以介绍的整数非线性规划模型，它有一种本事，那就是能在同一时间确定切割模式以及切割计划，这是一种带有普遍性质的方法。

仿佛如同（1）那般类似，存在着这样一种状况，一个具备合理性的切割模式所产生的余料，其长度不应当呈现出大于或者等于客户所需要的钢管的最小尺寸5m的情况，在切割计划里，能够运用的仅仅是合乎道理的切割模式，并且鉴于本题之中所有的参数均为整数这一缘故，所以合乎常理的切割模式所产生的余量，是不可以大于4m的。除此之外，在这里仅仅是挑选总根数最少作为目标来展开求解的 。

模型建立

决策变量，因不同切割模式，其数量不可超过3种，可借助xi来表示按照第i种模式（这里i取值为1、2、3）切割的原料钢管的根数，显而易见，这些数量应当属于非负整数范畴。设定在所选用的第i种切割模式之下，每一根钢管用来生产5m、6m、7m以及9m标准钢管的数量分别是r1i、r2i、r3i、r4i。

决策目标切割原料钢管的总根数最少，目标为

Minx1+x2+x3（6）

约束条件为了满足客户的需求，应该有

r11x1+r12x2+r13x3≥45（7）

r21x1+r22x2+r23x3≥15（8）

r31x1+r32x2+r33x3≥25（9）

r41x1+r42x2+r43x3≥20（10）

每根原料