长方体和正方体表面积提高：切片问题解析及典型例题

增加长方体和正方体的表面积

【测试点1】正方体表面积的增加或减少：切片问题。

[方法调用]

1、表面积的增加或减少主要存在三个问题。一是切片问题，表面积会相应增大，二是拼接问题，表面积会相应减小，还有一种是高度变化引起的表面积变化。

2.切片问题，即用一把刀切多了两片。如果从不同的方向切割，额外的表面积通常是不同的，但立方体是特殊的。其表面积的增加或减少是由平方的变化引起的。 ，比较简单。

3、刀数×2=切片数。

【典型例子】

将边长为2厘米的正方体切成两个相同的长方体后，其表面积比原来增加了( )平方厘米。每个小长方体的表面积为( )平方厘米。

【对应练习1】

正方体的边长是 4 厘米。将其切成两个相同的长方体后，表面积增加了（ ）平方厘米。每个长方体的表面积为( )平方厘米。两个长方体的表面积之和为( )平方厘米。厘米。

【对应练习2】

将边长为 5 分米的木头立方体锯成两个相同的长方体。表面积比原来增加( )平方分米。每个小长方体的表面积为( )平方分米。

【测试点2】正方体表面积的增大或减小：拼接问题。

【典型例子】

两个边长为 4 厘米的正方体组成一个长方体。长方体的表面积为 ( ) 平方厘米，比两个正方体的表面积之和小 ( ) 平方厘米。

【对应练习1】

用三个边长为 3 厘米的正方体拼成一个长方体。表面积减少 ( ) cm2。

【对应练习2】

将五个边长为 1 厘米的小正方体拼成一个长方体时，其表面积减少了 ( ) 平方厘米。

【测试点3】立方体表面积的增加或减少：高度的变化引起表面积的变化。

[方法调用]

1、表面积的增加或减少主要存在三个问题。一是切片问题，表面积会相应增大，二是拼接问题，表面积会相应减小，还有一种是高度变化引起的表面积变化。

2、立方体高度的变化，即边长的增加或减少，会引起立方体边面积的增加或减少。

【典型例子】

正方体底边的周长是 40 厘米。如果它的高度增加3厘米，那么表面积将比原来增加多少平方厘米？

【测试点4】长方体表面积的增加或减少：切片问题1。

[方法调用]

长方体表面积的增减问题也满足切片问题的增减变化方法，即一次切割多得到两片切片。然而，由于长方体面的差异，在不同方向切割时，额外的表面积可能会不同。

【典型例子】

将一块 40 厘米长的矩形木头锯成两块，表面积增加 18 平方厘米。木条的原体积为（ ）立方厘米。

【对应练习1】

将一块30分米长的矩形钢材切割成两段。表面积比原来增加了2平方分米。该钢材的原体积为( )立方分米。

【对应练习2】

一块长方形的木头被切成两个相同的立方体。表面积增加18平方厘米。每个立方体的表面积是多少？

【测试点5】长方体表面积的增加或减少：切片问题2。

[方法调用]

切片问题。多次切片问题：

1、一刀多切两条边；

2、沿着同一方向，切一次分成2段，切两次分成3段，切3次分成4段……

以此类推，我们可以看出：段数-1=刀数，增加的面数=刀数x2。

【典型例子】

如图所示，将5m长的长方体木材切割成5段后，表面积增加了38.4dm²。这块木头的体积是多少立方分米？

【对应练习1】

将长20分米的长方木切成五段，表面积增加40平方分米。这块木头的体积是多少立方分米？

【测试点6】长方体表面积的增加或减少：切片问题3。

[方法调用]

切割一把刀以添加两个表面。添加的两个曲面完全相同。为了使表面积增加最少，以最大的表面积作为横截面；为了最大限度地增加表面积，请使用最小的表面作为横截面。

【典型例子】

蛋糕长12厘米，宽5厘米，厚6厘米。切割后表面积会增加多少平方厘米？最多可以增加多少平方厘米？

【对应练习1】

如果把一个长12厘米、宽5厘米、高7厘米的长方体切成两个同样大小的小长方体，表面积至少会增加多少平方厘米？

【对应练习2】

如果将长4分米、宽2分米、高3分米的长方体木材切成两个长方体，则表面积的最小增加量为（）。

【测试点7】长方体表面积的增大或减小：拼接问题。

[方法调用]

1.表面积的增加或减少主要有两个问题。一种是切片问题，表面积会相应增大，另一种是拼接问题，表面积会相应减小。

2、拼接问题会减少表面积。为了最小化组装的长方体的表面积，必须将最大的面组装在一起。为了使组装的长方体的表面积最大化，必须将最小的面组装在一起。

3、刀段数——1=刀数；刀数×2=切片数。

【典型例子】

用两个长6厘米、宽3厘米、高1厘米的小矩形拼成一个大长方体。这个大长方体的最小表面积是( ) cm2，最大表面积是( ) cm2。

【对应练习】

两个相同的长方体，长6厘米，宽4厘米，高2厘米。将它们组合成一个大长方体，如下所示。大长方体的表面积是多少平方厘米？

【测试点8】长方体表面积的增加或减少：高度的变化引起表面积的变化。

[方法调用]

1、表面积的增加或减少主要存在三个问题。一是切片问题，表面积会相应增大，二是拼接问题，表面积会相应减小，还有一种是高度变化引起的表面积变化。

2、长方体高度的变化会引起长方体边面积的变化。长方体的边是指前、后、左、右四个边。

【典型例子】

如果长方体的高度减小，它就变成立方体，并且它的表面积也比以前减小。长方体的原始表面积是多少平方厘米？

【对应练习1】

如果长方体的高度减少3厘米，它就变成了正方体。此时表面积减少了72平方厘米。长方体原来的表面积是多少？

【对应练习2】

长方体的底面是一个周长为20厘米的正方形。如果高度增加4厘米，它就变成了立方体。长方体的原始表面积是多少平方厘米？

【测试点9】求不规则三维图形的表面积。

[方法调用]

查找与长方体、正方体相关的不规则三维图形时，要注意分析该图形是由哪些面组成，然后求对应面的面积。

【典型例子】

如图所示，从一个长方体上切下一个小正方体，将剩下的图形的表面积与原长方体的表面积进行比较，（ ）。

A. 添加 B. 减少 C. 常数

【对应练习1】

如图所示，一个边长为3分米的正方体。挖出一个小立方体，其一个顶点的边长为 1 分米。求剩余部分的表面积。

【对应练习2】

正方体的边长为 5 厘米。从正方体的上、下、前、后、左、右挖出一个边长为2厘米的正方体。目前的表面积是多少？

【测试点10】拓展：染色问题。

[方法调用]

三面画的在顶点，两侧画的在边缘，一侧画的在表面，没有颜色的在里面：

三面染色的小方块数量：8。

两面染色的小方块数量：12×(a-2)。

一个表面染色的小立方体数量：6×(a-2)x(a-2)。

面未染色的小正方体的数量：(a-2)×(a-2)×(a-2)。

【典型例子】

如图所示，它是一个由125个小立方体组成的大立方体，它的整个表面都涂上了颜色。

(1) 未涂色的小正方体有 ( ) 块。

(2) 一侧画有( ) 块的小正方体。

(3) 两面涂有( ) 块的小正方体。

(4) 三面涂色的小正方体有 ( ) 块。

【对应练习1】

如图所示，一个4×4×4的正方体被分成64等份。如果它的表面被涂成红色，那么有多少个小立方体中只有两个面被涂成红色？

【对应练习2】

用边长1厘米的小正方体在下边拼成一个大正方体，然后在其表面涂漆。未上色的小立方体共有 ( ) 块。

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