胡克定律与弹性模量：探索原子键背景下的应力应变关系

关键词：胡克定律 弹性模量 原子键

背景

1676年，清康熙十五年。

大洋彼岸的英国科学家、应用力学创始人之一罗伯特·胡克利用弹簧实验发现，应力（载荷）的增加会导致应变（变形）的线性增加。这就是早期的胡克定律。这一发现可以表示为以下公式

σ=Eε

式中的E代表应力应变曲线中线弹性阶段的斜率，称为弹性模量或杨氏模量，由英国科学家Thomas Young于1807年首次发表。

我们知道应变的大小等于伸长率与原始长度的比值，是一个无量纲参数。因此，弹性模量的单位与应力相同，也是Pascal P。

胡克定律的适用条件

胡克定律的适用条件是材料在应力作用下的应力不超过材料的比例极限（注意与屈服强度不同）。这一点非常重要，与我们实际的工程设计密切相关。

例如，细心的同事会注意到，在国家规范中，HRB400螺纹钢筋的屈服强度虽然为400MPa，但其设计强度只有360MPa。这一定是原因——钢筋的比例限制可以保证材料完全在工程设计中。在弹性阶段，可应用胡克定律进行弹性设计，保证构件在使用过程中变形可控。

欧洲标准也是如此。例如，对于一般工程钢材，取1.2左右的材料安全子系数，以保证材料受力时完全处于弹性工作阶段。

材料的强度、塑性和耐腐蚀性受合金元素、热处理工艺和加工技术的影响很大。但弹性模量不同。如图1所示，纯铁、碳钢、高强度低合金钢和热处理合金钢在强度和塑性上可以有很大差异，但它们在弹性阶段的弹性模量却是一致的。

图1 不同材料的应力应变曲线

简单地说，对于相同尺寸的结构构件，提高材料强度可以提高承载能力，但结构的刚度和变形保持不变。

还值得一提的是，对于各向同性材料，无论加载方向如何，弹性模量都是相同的，但对于各向异性材料，显示的弹性模量根据加载方向而不同。

目前有许多复合材料活跃在建筑市场上。典型的例子是玻璃钢，它是由玻璃纤维或碳纤维等材料与各种树脂材料组成，如图2所示。

图2 纤维复合材料

这种材料的特点是所有纤维都在同一方向（如x方向），从而使复合材料获得最大的承载能力。纤维的优点是强度和刚度非常高。当沿x方向加载时，复合材料的整体承载能力和弹性模量也很大。

然而，y 方向则相反。当沿y方向施加载荷时，载荷方向垂直于纤维长度方向，不发挥纤维的强度和刚度。只有树脂的强度和刚度有贡献。因此，无论复合材料在y方向的承载能力和弹性模量都远小于x方向。

弹性模量的性质

弹性模量本质上是材料原子间力的反映。

图3 原子间力

复原阶段

当材料处于完全弹性阶段时，施加载荷会引起原子之间的相对位移，但原子键保持完整。载荷消失，原子间的相对位移消失，材料完全恢复到原来的尺寸。

塑料舞台

当施加过大的载荷，材料进入塑性阶段时，有的原子键被破坏，有的原子键没有被破坏（注：如果所有原子键都被破坏，则说明材料已断裂）。

当载荷消失时，原子键被破坏，导致原子之间永久位移。未被破坏的原子之间的位移仍然可以恢复到原来的状态。这就是为什么已经进入塑性变形的材料在去除载荷后仍会回弹，同时会发生部分变形。部分永久变形。

值得一提的是，虽然部分原子键被破坏，但在去除载荷后，原子键断裂的原子会与其他原子重新生成原子键，达到平衡。当再次施加载荷时，材料将重复与材料相同的变形。内部原子之间的行为模式相同，即弹性阶段原子继续产生相对位移，弹性模量保持不变，但屈服强度会增加（由于晶体结构的变化），延展性下降，如图4所示。该原理可用于提高材料的屈服强度。这种现象称为应力硬化，也称为冷加工硬化。

图4 加载到A'，卸载，再加载（O'A'B截面）

这个本质也解释了为什么我们在上图1中说不同类型的钢材具有不同的强度但弹性模量相同。由于钢的成分大部分是铁元素，其他合金元素所占比例较小，它们对原子间力的影响很小，不足以影响弹性模量。

正是由于这个原因，橡胶等有机物质的弹性模量要小得多。由于有机材料是由有机大分子组成，分子间力远小于原子间力，分子数远小于原子数，因此弹性模量也小得多。

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结尾

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