小学数学：立体图形的计算公式归纳（附答案）

三维图形的计算

小学时，我们除了学习平面图形外，还学习了一些简单的三维图形，如长方体、正方体（正方体）、直圆柱、直圆锥、球体等，还知道它们的计算公式体积和表面积。 ，总结如下。 见下文。

在数学中，有许多有趣的几何问题。 解决这些有趣问题的关键在于巧妙的构思和恰当的设计，并将形象思维与抽象思维相结合。

例1 下图是由18个边长为1厘米的小正方体组成。 求它的表面积。

分析与解答要求这个长方体的表面积，如果并排数一下，将结果相加，就可以得到答案，但方法太复杂了。 如果你仔细观察，你会发现这个立体的上、下、左、右、前、后面积分别相等。 因此列公式为：

(9+8+7)×2=48(平方厘米)。

答：它的表面积是48平方厘米。

例2 圆柱底面的周长和高度相等。 如果高度缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米。 求这个圆柱体的表面积。

分析圆柱体底边的周长和高度相等，说明圆柱体展开后的边长是正方形。 解决问题的关键是找到底周长。 根据条件：高度缩短2厘米，表面积将减少12.56平方厘米。 这由右图表示。 从图中不难看出，阴影部分是圆柱体表面积缩小的部分。 其值为 12.56 平方厘米，因此底周长 C = 12.56÷2 =6.28 (cm)。 这个问题解决了，其他问题就迎刃而解了。

解：底面周长（也就是圆柱体的高度）：12.56÷2=6.28（厘米）。

边面积：6.28×6.28=39.4384（平方厘米）

两个底面积（取π=3.14）：

表面积：39.4384 + 6.28 = 45.7184（平方厘米）

答：这个圆柱体的表面积是45.7184平方厘米。

实施例3 边长为1米的立方体木块。 如果将正方体沿三个方向切成3、4、5份，如下图所示，总共会得到60个大小长方体。 这 60 个长方体的表面积之和是多少平方米？

分析：一一计算60个长方体的表面积是一个非常复杂的问题，更何况锯木块的长宽高都是未知的，无法计算出表面积小长方体。 如果你从另一个角度思考这个问题：每次你看到时，你都会得到两个新的切割面。 这两个面的面积等于原立方体一个面的面积。 也就是说，每看到一次，表面积就会增加1+1=2平方米。 这样，你只需要计算出锯子的总数就可以解决问题。

解：原正方体表面积：1×1×6=6（平方米），

总共锯了多少次：（次数比段数少1）

(3-1) + (4-1) + (5-1) = 9（次），

表面积：6+2×9=24（平方米）。

答：60个长方体的表面积之和是24平方米。

实施例4 酒精瓶的瓶体为圆柱形（不包括瓶颈），如下图所示。 据了解，其体积为26.4π立方厘米。 当瓶子直立放置时，瓶内酒精液面为6厘米。 将瓶子倒置时，空部分的高度为2厘米。 问：瓶子里酒精的体积是多少立方厘米？ 总共有多少升？

分析 根据题意，液体的体积是恒定的，瓶子中空部分的体积也是恒定的。 因此，可以看出液体的体积是空部分体积的3倍（6÷2）。

62.172 立方厘米 = 62.172 毫升 = 0.062172 升。

答：酒精的体积是62.172立方厘米，相当于0.062172升。

例5：一个米仓，顶部是圆锥体，底部是圆柱体（如下图）。 圆柱体底周长9.42米，高2米，圆锥体高0.6米。 该粮库的体积是多少立方米？

分析遵循一般的计算方法，先分别求出圆锥体和圆柱体的体积，然后将它们合在一起求出总体积。但是如果我们仔细想想，如果我们把圆锥形的米压扁，把它变成圆形

解决方案：将圆锥体的高度转换为圆柱体的高度：

底部面积：

体积：7.065×(2+0.2)=15.543（立方米）。

答：粮库容积为15.543立方米。

示例6 一个球落入装满水的圆柱形桶中。 球的直径为12厘米，桶底的直径为60厘米。 球体积的 2/3 浸没在水中（下图）。 问球落入水中后，水桶的水位会上升多少厘米？

分析：球落入水中后，挤出部分水，导致水位上升。 这部分水的体积等于球浸入水中部分的体积。 然后用这个体积除以圆柱形桶的底部面积即可得到水面的高度。

解： 球的体积：

=288π（立方厘米）。

桶底面积：π×302=900π（平方厘米）。

例7 下图显示了一个边长为6厘米的立方体。 最大的圆锥体是从立方体底部向内挖的。 原来的立方体体积占剩余体积的百分之几？ （保留一位小数）。

分析：直圆锥底面的直径是立方体的边长，高等于边长。

剩下的体积等于原立方体的体积减去直圆锥体的体积。

解：立方体体积：63=216（立方厘米）。

=56.52（立方厘米）。

剩余体积占立方体的百分之几？

(216－56.52)÷216≈0.738≈73.8%．

答：剩下的体积占正方体体积的73.8%。

实施例8 有一个圆柱形部件，高度为10cm，底部直径为6cm。 零件一端有一个圆柱形直孔，如下图所示。 圆孔的直径为4厘米，孔的深度为5厘米。 如果该部分与空气接触的部分涂防锈漆，总共需要涂多少平方厘米？

分析解决问题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面。 同时，我们还必须注意到零件的底面是一个环。 由于孔的深度与圆柱体的长度不同，因此孔内还有一个小圆底面需要涂漆。 这一点不容忽视。 不过我们可以把小圆的底面和圆环拼成一个圆，就是原来圆柱体的底面。

解决方案： 涂漆区域：

＝3.14×（18＋60＋20）

=3.14×98=307.72（平方厘米）。