从伽利略到铁木辛柯：梁的理论发展与工程应用

一、梁漱溟的史学理论

1638年，伽利略在《两门新科学对话》一书中系统介绍了他对梁的强度的研究，其中的一个关键问题是悬臂梁的强度，影响了近两百年的研究。伽利略并没有正确解决他所提出的问题，书中在讨论悬臂梁强度时，存在两个错误：一是认为根部AB截面上的拉应力是均匀分布的，二是认为梁的中性层取在梁的下侧。

伽利略《关于两门新科学的对话》中的悬臂梁插图

在伽利略的基础上，马略特、胡克、伯努利、铁木辛柯等人逐渐完善了梁的理论，最终形成了可以应用于工程的材料力学体系。A.沃尔夫在1935年出版的《16、17世纪科学、技术和哲学史》一书中，列举了伽利略、马略特和胡克理论得到的应力分布如下。

伽利略、马略特和胡克理论中横截面的应力分布

2 悬臂梁应力分布

本文不想讲那些复杂的公式，而是凭直觉寻找应力分布的逻辑。假设一个如下图所示的悬臂梁，其末端受到一个垂直集中力。

悬臂梁示意图

如果悬臂梁内部的材料组织是离散的，会发生什么情况？

第一种情况，如下图所示，是横截面之间的位移。如果你去工地搬砖，应该能看到这种器物，它利用砖块之间的摩擦力，临时形成一个梁。

梁横截面之间的剪切力

第二种情况，如下图所示，是纵截面间的位移。下图中书本的变形就是典型的例子。由于书页间的摩擦力很小，书页间（纵截面）存在相对位移。因此，书本悬臂端的变形很大，无法承受自身载荷。

梁纵截面间的剪力

第三种情况就是上一节讲了几百年的截面弯矩，现在结构师们应该都很清楚它的应力分布，对于悬臂梁来说，根部的弯矩最大。

梁根处的弯矩

因此，悬臂梁若要作为承重构件，就需要能够抵抗两个方向的剪切，同时也要能够抵抗弯曲。

对于建筑中常用的实心梁来说，梁的纵向截面之间的剪切承载力很高，经常被忽视。但从理论上讲，任何结构都必须能够抵抗上述三种破坏模式。

3.悬臂结构

首先，悬挑结构如果旋转90度，可以看成是高层建筑，悬挑结构上所受的竖向荷载就是高层建筑的水平力；悬挑梁的侧向剪力就是层间剪力；悬挑梁根部的弯矩就是倾覆力矩。

悬臂梁旋转90度后的应力

根据悬臂结构抵抗剪力和弯矩作用的方式，结构类型分为以下两类：

1）剪切力由构件的弯曲能力抵抗

如下图所示的悬臂结构通常称为空心桁架。悬臂结构的侧向剪力由上下弦杆的抗弯能力来抵抗，纵向剪力由竖腹板的抗弯能力来抵抗。悬臂结构的根部弯矩由弦杆的弯矩和轴力来承担。如果杆件尺度相近，弦杆的轴力较小。将手机旋转90度，悬臂结构为框架结构。结构的刚度取决于杆件和节点的抗弯刚度。

空心桁架示意图

假设我们将竖腹板的抗弯刚度设置为无限大，如下图所示，通过增加竖腹板的刚度，竖腹板所承受的剪力会增大，从而上下弦杆所承受的轴力也会随之增大，增强上下弦杆的联合作用，增强悬臂结构根部的抗弯能力。

空心桁架示意图2

马建院士的箱型结构就是利用了这个原理，本质上是一个空心桁架，通过把竖向腹杆弄得很刚度，增加上下弦杆的联合作用。

箱体结构图及实景图

如果我们往另一个极端走，假设我们把竖向腹杆的抗弯刚度设为零，也就是竖向腹杆两端铰接，如下图所示。此时两根弦杆就变成了两根独立的悬臂梁。把手机旋转90度，就变成了一个机架结构。由于悬臂结构不能承受纵向剪力，因为结构的刚度最弱，所以类似于书本错位的书页。

货架图

从以上分析可以看出，悬挑结构在纵、横两个方向的抗剪性能都会影响整个结构的受力性能。剪力墙结构中的连接梁可以看作是空心桁架的竖向腹板。在弹性阶段，连接梁刚度完好，承受整个悬挑结构的纵向剪力，剪力墙整体作用明显；在大地震作用下，连接梁因开裂导致刚度减弱，不能承受整个悬挑结构的纵向剪力，剪力墙中的轴力减小，结构侧向刚度减弱。

林同彦在设计尼加拉瓜美洲银行时就运用了这一原理，在风、小震作用下的周期为T=1.33秒，地震水平力F=2700KN；在大震作用下连梁开裂后，其剪切承载力减弱，结构主周期变为T=3.5秒，地震水平力F=1300KN。

地震后剪力墙与连梁及美国银行关系示意图

2）剪切力由构件的拉伸（压缩）能力抵抗

如果加上斜拉杆，如下图所示的悬臂结构就叫桁架，此时我们发现悬臂结构的水平和垂直剪力都是由斜拉杆的轴向力来承担的，如果把手机旋转90度，这就是支撑架。

桁架图

4. 部件和结构

一般而言，我们认为一个结构可以看作是构件的组合，但也可以看作是掏空的巨大构件。本文介绍一种把结构看作构件的逻辑。两者应该是辩证关系。这两种不同的观点，也会形成两种完全不同的结构形态优化方法。一种是枚举法，一种是拓扑优化（这个说起来很长，后面会介绍）。

由于人类对材料的认识还停留在一维阶段，我们往往把结构看成是由构件组成的来进行结构验证，所有的结构验证都是把非常复杂的问题进行降维，直到降维到钢材的单向抗拉承载力、混凝土的单向抗压承载力。

结构、部件、材料的关系

3D

2D

一维

结构

成员

材料

（钢筋、混凝土、钢材）

楼面剪力和倾覆力矩

剪切力、弯矩、轴力

拉伸应力和压缩应力

但为什么我们在设计的时候会感觉像是在检查构件呢？因为常用的设计软件都是通过各种近似的方法，把结构内力降低到构件层面的外力，再把材料的承载力提升到构件的承载力。最终体现在操作层面就是在检查构件。本文第三节从设计的角度来探讨一下升维的逻辑。一般来说，我们提到的结构概念，大概就是这样的升维概念。

在三体世界里，一个11维的粒子就能包含整个太阳系的信息，而且可以任意降维或增维。如果真的存在比人类先进很多的文明，看到我们仍然把三维问题降到二维来解决，岂不是太可笑？如果未来有一天，计算一栋建筑就像计算一个构件一样，不用降维，那效率应该会很高。

参考：

1）吴继科，科学网，《谈梁》

2）季天健：《知觉结构的概念》