掌握圆柱体积问题提高技巧，轻松应对三种应用方式

3号机组圆柱体容积问题的改进

【考点一】圆柱内比率的三种应用方法。

【方法提示】

1. 当圆柱体的底面积相等时，给定它们的高度比，求它们的体积比：

高度之比就是体积之比。

2. 当圆柱体的高度相等时，给定底面积的比，求体积的比：

底面积之比就是体积之比。

3. 已知底面积比与高比，求体积比：

利用相应的底面积×相应的高，得到相应的体积，然后计算体积比。

【典型案例1】

已知两个圆柱体的底面积相等，高比为1：2，体积比为（ ）。

【典型案例2】

已知两个圆柱体的高度相等，其底面积之比为2：3，其体积比为（ ）。

【典型案例3】

两个圆柱的高度比为2：3，半径比为1：2，它们的体积比是多少？

【对应练习1】

两个圆柱体的高度相等，半径之比为1：2，它们的体积比是多少？

【考点二】圆柱的表面积在体积中增加和减少的三种方式的应用。

【方法提示】

1.圆柱高度的变化引起表面积的变化：

由于底面积没有变化，实际上变化的是侧面积，由此可以算出底面的周长，进而算出表面面积，即底面周长C=变化后的表面积÷变化后的高度。

2. 横截面积引起的表面变化。

和底面平行切一刀（横切），多出的两个面就是底面，也就是两个圆。

3.垂直切割引起的表面积变化。

垂直于底面剖切（竖切），多出的两个面为矩形，即以底面圆直径为长度，以圆柱体高度为宽度的矩形。

【典型案例1】

一个圆柱体的高度如果缩短3米，它的表面积就会减少，那么这个圆柱体的体积会减少多少立方米？

【典型案例2】

一根4米长的圆柱形钢筋被切成两段，其表面积增加了15.7平方厘米，这根钢筋的体积是多少立方厘米？

【对应练习1】

一根圆柱形木块，底面直径为，沿高度方向切成两块形状和大小完全相同的木块，表面积增大，这根圆柱形木块的体积是多少立方分米？

【对应练习2】

一根长1.2米的圆柱钢筋被切成三段，表面积增加了6.28平方分米，这根钢筋原体积是多少？

【对应练习3】

一个圆柱体的高度为15厘米。当其高度增加2厘米时，其表面积增加25.12平方厘米。求该圆柱体的原始体积。

【考点三】圆柱体、矩形块的切割与变形问题。

【方法提示】

把一个底面半径为r，高为h的圆柱体，沿高切成几等份，拼凑起来，就形成一个近似的长方体。此时圆柱体与长方体的体积相等，拼凑起来的长方体的表面积比圆柱体多出2个面积为hr的矩形。

[典型示例]

将一个底面半径为的圆柱体切割成近似长方体（如图所示），其表面积增大，求该圆柱体的原始体积（立方厘米）是多少？

【对应练习1】

把一个1米高的圆柱体用底面切成许多相等的扇形，然后拼成一个近似的长方体。已知长方体的表面积比原圆柱体的表面积大40平方分米。求原圆柱体的体积是多少立方分米？

【对应练习2】

把一个高5厘米的圆柱体的底面分成几等份，把圆柱体切成两等份，形成一个长方体。长方体的表面积比圆柱体的表面积大20平方厘米。求原圆柱体的体积。

【考点4】圆柱体、长方体与立方体之间的等面积变换问题之一。

【方法提示】

等体积变换问题的关键是寻找问题中的体积不变量，然后基于体积不变性求解问题。

【典型案例】

一块长方形铅块，其长、宽、高分别为9厘米、7厘米、3厘米，一块立方体铅块，边长为5厘米，铸成一个圆柱体，此圆柱体的底部直径为20厘米，求它的高度是多少厘米？

【对应练习1】

一块底面积为、高为6cm的圆柱形铁块，熔化后铸成一个长为5cm、宽为4cm的长方体铁块，求铸成的长方体铁块高是多少厘米？

【对应练习2】

下图中圆柱体与长方体的体积相等，这个圆柱体的高度是多少分米？（单位：）

【考点五】第二题，圆柱、长方体、立方体的等面积变换。

【方法提示】

等体积变换问题的关键是寻找问题中的体积不变量，然后基于体积不变性求解问题。

【典型案例】

圆柱形瓶子A里面有2cm的水，长方形瓶子B里面有6.28cm的水，如果把瓶子B中的水全部倒入瓶子A中，则瓶子A中的水深是多少？（如图）

【对应练习1】

圆柱形容器A是空的，长方体容器B中的水深为6.28厘米，如果把容器B中的水全部倒入容器A中，水深是多少厘米？

【考点六】不规则圆柱的等面积变换问题。

【方法提示】

等体积变换问题的关键是寻找问题中的体积不变量，然后基于体积不变性求解问题。

【典型案例1】

小君有一个密封瓶（图A），里面装有250毫升果汁，如果把它倒过来（图B），空白部分的容量是50毫升，如果把瓶子装满果汁，一共可以装多少毫升？

【典型案例2】

一个高大的酒瓶里装满了酒，如果把它倒放在桌子上（如图所示），这个酒瓶的容积是多少？（单位：）

【对应练习1】

一个胶水瓶，内径为4cm，胶水的高度为8cm，将瓶盖拧紧，将瓶子倒置，没有胶水的部分高为2cm，这个瓶子的容积是多少？

【考点7】求长方体所能切出的最大圆柱体的体积。

【方法提示】

从一个长为a厘米、宽为b厘米、高为c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱体，求出这个圆柱体的体积，单位为立方厘米，以中间长度的边作为圆柱体底面的直径，再根据情况选择圆柱体的高度，计算出圆柱体的体积。

【典型案例】

一个长方形盒子，长、宽、高分别为 2dm、2dm、5dm，盒子里可以放一个圆柱形物体（如图所示）。这个圆柱形物体的最大体积是多少立方分米？盒子里的空隙是多少立方分米？

【对应练习1】

从一个长12厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是多少立方厘米？

[考点8] 求一个立方体能切出的最大圆柱体的体积。

【方法提示】

把立方体加工成一个最大的圆柱体，圆柱底面直径等于立方体边长，圆柱高也等于立方体边长，然后利用圆柱体积公式V柱=πr2h计算圆柱体积。

【典型案例】

为丰富校园文化生活，培养学生创新精神和实践能力，学校将于2021年举办大型科技文化节。在制作过程中，科技团队需要将一块木头的立方体加工成一个最大的圆柱体（如下图所示），已知它的边长为8dm，这个圆柱体的体积是多少？

【对应练习1】

有一块立方体木块，边长为4dm，将这块木块加工成一个最大的圆柱体，求这个圆柱体的体积比原立方体的体积小百分之几？

【考试点9】圆柱体内排水量法的三种应用：计算不规则物体的体积。

【方法提示】

不规则形状物体的体积可以用位移法计算。位移法的公式为：

①Vobject=Vnow-Voriginal

②V对象=S×(hnow-水平)

③V物体=S×h上升

【典型案例】

一个底部直径为6dm的圆柱形容器内盛满水，一块高为4dm的圆锥形铁块完全浸没在水中，当把铁块从水中取出时，水面下降5cm，问这个圆锥形铁块的体积是多少？

【对应练习1】

有一圆柱形玻璃容器，底部直径为20cm，内装有水，容器内水位为5cm。现将一个圆锥形铅坠完全浸入容器内，容器内水位上升至7cm。求铅坠的体积。

[考试点10] 排水法在圆柱体中的三种应用：求不规则物体的高度。

【方法提示】

不规则形状物体的体积可以用位移法计算。位移法的公式为：

①Vobject=Vnow-Voriginal

②V对象=S×(hnow-水平)

③V物体=S×h上升

【典型案例】

有一个圆柱形的桶，桶底半径为3dm。桶内盛满水，桶内有一块方形底部、边长为2dm的长方形铁块（完全浸入水中）。当铁块完全从水中取出时，桶内的水位下降5cm。求长方形铁块的高度。（保留一位小数）

【对应练习1】

如果将一块石头放入容器 A（完全浸没在水中），水位上升 2.5 厘米。如果将其放入容器 B（完全浸没在水中），水位会上升多少厘米？（水不会溢出）

【考点11】排水法在柱子中的三种应用方法：溢流问题。

【方法提示】

水溢问题：由于当物体放入容器中时水会溢出，因此该物体的体积应该是水上升部分的体积加上水溢出部分的体积，即：Vobject=Vrised部分+VOverflow部分。

【典型案例】

一块石头放在一个圆柱形容器中，容器内装有部分水（见图），水溢出。石头的体积是多少立方厘米？

【对应练习1】

一个铁锥体放在一个底部半径为10cm的圆柱形容器内，盛水量为150.72cm³，若将锥体取出，容器内的水位会下降多少？

[考点12] 求一个较简单的不规则圆柱体的体积。

【方法提示】

求不规则圆柱体的体积，要注意分析形状，求出底面半径和高，然后根据公式求出体积。

【典型案例】

如图所示，一块长1m，横截面直径10cm的圆柱形木块浮在水面上，东东发现它正好有一半露出水面，请问露出水面的木块的体积是多少立方厘米？

【对应练习1】

求下列圆柱体的体积与表面积。（单位：）

【对应练习2】

计算下图的表面积和体积。半圆柱底面直径为10cm

[考点13] 求比较复杂的不规则圆柱体的体积。

【方法提示】

求不规则圆柱体的体积，要注意分析形状，求出底面半径和高，然后根据公式求出体积。

【典型案例】

一个底面积为20平方厘米的圆柱体被以一定角度切去，剩下的形状如图所示，求剩余形状的体积是多少立方厘米？

【对应练习1】

纪念品商店加工一种艺术节比赛奖杯（如图所示），在加工过程中，一个有机玻璃圆柱体可以切割成两个这样的奖杯，求一个奖杯的体积。

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