《圆柱和圆锥》圆柱表面积的变化有关习题

《圆柱与圆锥》的单元学习结束了，同学们也做了很多练习。 今天袁老师就来总结整理与圆柱体表面积变化相关的习题。

圆柱体的表面积有何变化？ 他们的变化规律是什么？ 通过我在教学中的讨论，圆柱体的表面积主要在以下几种情况下发生变化。

1、表面积因圆柱体的拼接、分段而减少或增加。

当几个小圆柱体放在一起时，表面积就缩小了，缩小后的曲面就是圆柱体的底面。 每两个小圆柱体拼在一起可以减少2个面（如图1），每3个小圆柱体拼在一起可以减少4个面（如图）。 2)...也就是说，如果2块拼在一起，拼一次就会减少2个面。 每 3 块将拼凑 2 次，以减少 2×2 面。 每 4 块将拼凑 3 次，减少 2×3 面……

结论：n个相同的小圆柱体组装成一个较大的圆柱体。 大圆柱的表面积小于小圆柱的表面积，减小的面积为：圆柱的底面积×[(n-1)×2]。

同理，如果将一个较大的圆柱体切成n个较小的圆柱体，则n个小圆柱体的表面积之和大于原圆柱体的表面积：圆柱体的底面积×[ (n-1)×2]。

实施例1 一块圆柱形木头的底部直径为20cm，长度为1.8m。 将其切成 3 部分，使每部分都有圆柱体的形状。 切割后表面积增加了多少平方厘米？ 像这样将其切成 4 或 5 部分怎么样？

分析解：底面积：20÷2=250厘米10×10×π=314平方厘米

切成3段：(3-1)×2=4（块）4×314=1256平方厘米

切成4段：（4-1）×2=6（块）6×314=1884平方厘米

切成5段：（5-1）×2=8（块）8×314=25.12平方厘米

2.沿直径切割圆柱体引起的表面积变化

实施例2 将底半径为4cm、高为5cm的圆柱体沿直径切割成两个相同的半圆柱体。 两个半圆柱体的表面积之和比原来圆柱体的表面积增加了多少平方厘米？

分析与解决：切成两个半圆柱体，并添加两个矩形。 长方形的长度是圆柱体底面的直径，高度是圆柱体的高度。 因此，本题相加面积为：4×2×5×2=80平方厘米。

结论：将圆柱体沿直径切割成两个相同的半圆柱体。 相加面积就是两个矩形的面积。 长方形的长度是圆柱体的底径，高度是圆柱体的高度。

3.沿着圆柱体的高度切断或增加一定的长度引起表面积的变化

例3 有一个高8厘米的圆柱体。 如果高度缩短3厘米，表面积就会减少94.2平方厘米。 这个圆柱体的体积是多少立方厘米？

分析与解决：高度缩短3厘米后圆柱体的变化：（1）原来圆柱体被切除一部分后，剩下的圆柱体看到了三个面，但顶部原来没有； (2) 切掉圆柱体的一部分。 在切割之前，我们看到两个面，这就是缩小的面积。 我们可以通过抵消剩余圆柱体上的表面积（增大部分）和切除部分上的面积（减小面积）来相互抵消。 那么减少的面积就是被切掉部分的边的面积。

表面积减少了94.2平方厘米，也就是说圆柱体的侧面面积为94.2平方厘米。 解为：（1）半径：94.2÷3÷π÷2=5厘米； (2)体积：π×5×5×8=200π=628立方厘米。

结论：将圆柱体沿高度截去或增加一定长度，减少或增加的面积就是截去或增加部分圆柱体的侧面面积。

4.圆柱体转变为长方体引起的表面积变化

我们在探索推导圆柱体的体积计算时，将圆柱体的底面分成许多相等的扇形，然后将它们拼在一起，发现所得的图形接近于长方体。 当然，它划分的部分越多，就越接近长方体（如图所示），通过拼图形状，学生发现：（1）长方体的长度相当于长方体周长的一半圆柱体的底面，宽度等于圆柱体底面的半径。 (2) 圆柱体的体积等于长方体的体积。 组装好的长方体的表面积比圆柱体的表面积多了两个面。 这两个面是完全相同的矩形。 长度是圆柱体底面的半径，宽度是圆柱体的高度，因此增加的表面积=半径×高度×2=直径×高度。

实施例4 将高度为10分米的圆柱体分成若干等份，然后组装成近似长方体。 表面积增加40平方分米。 求圆柱体的表面积和体积？

分析与解答：本题的关键是求圆柱体的底半径。 半径为：40÷2÷10=2分米。 这样，这道题就转化为知道底半径是2分米，高是10分米。 求圆柱体的半径。 表面积和体积，这将复杂的问题简单化，学生可以轻松解决此类问题。